خطای برش انتگرال پواسون برای انتقال فروسوی بی‌هنجاری‌های گرانشی باقیمانده

نوع مقاله: مقاله تحقیقی‌ (پژوهشی‌)

نویسنده

دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران

چکیده

تلفیق مدل­های زمین‌پتانسیل ماهواره‌ای با داده­های گرانی زمینی، روشی مرسوم و دقیق برای مدل‌سازی میدان گرانش زمین و تعیین زمین‌وار است. بعد از حذف اثر طول­موج­های بلند میدان از مدل ماهواره‌ای و توپوگرافی، اغلب از انتگرال پواسون برای انتقال فروسوی داده­های باقیمانده استفاده می­شود. این مطالعه به بررسی خطای برش این انتگرال برای داده­های گرانشی باقیمانده می­پردازد. کرنل انتگرال پواسون در حالت اصلی در فواصل کوتاه به­سرعت میرا می­شود به‌طوری­که اصلاح آن تغییری در نتایج ایجاد نمی­کند، اما کرنل اسفروئیدی انتگرال پواسون (طول­موج­های کوتاه انتگرال پواسون) خطای برش زیادی دارد. در این پژوهش ضرایب برش برای تعیین خطای برش کرنل اصلی، کرنل اسفروئیدی و کرنل اسفروئیدی اصلاح­شده به روش مالدنسکی محاسبه شد. این ضرایب نشان می­دهند خطای برش برای کرنل اصلی و مالدنسکی تقریباً یکسان و کوچک هستند، اما ضرایب برش کرنل اسفروئیدی بزرگ هستند به‌طوری­که مقدار خطای برش برای شعاع انتگرال‌گیری یک درجه، به چندین میلی­گال هم می­رسد. ازآنجاکه محاسبه این مقادیر با دقت کافی امکان­پذیر نیست، نتایج فروسو مطلوب نخواهد بود. کرنل اسفروئیدی پواسون وابسته به ارتفاع است و محاسبه ضرایب مالدنسکی زمان­بر است. در این مطالعه روشی سریع با استفاده از تعامد هارمونیک­های کروی بر مبنای کرنل کامل توسعه داده شد. نتایج شبیه­سازی نشان می­دهد که نتایج روش توسعه­داده­شده با اصلاح کرنل به روش مالدنسکی یکسان است و شعاع بهینه برای انتگرال پواسون در منطقه ایران 5/0 درجه است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Truncation Error of Poisson’s Integral in Downward Continuation of Residual Gravity Anomalies

نویسنده [English]

  • Mehdi Goli
Faculty of civil engineering, Shahrood University of technology, Shahrood, Iran
چکیده [English]

The global gravity models (GGM) are combined with the surface gravity data to geoid determination in remove-restore scheme. In the remove step, the residual gravity anomalies are computed by subtracting the long wavelength signal of gravity anomalies, computed from GGM, as well as the gravitational effect of topographic masses. In next step, the residual anomalies are downward continued (DWC) into the geoid/ellipsoid surface for solving the Stokesian boundary value problem. In restore step, the long wavelength of geoid and indirect effect of topography are restored. The main goal of the present paper is to study the truncation error of spheroidal Poisson’s integral.
The comparison  of truncation coefficient of full and spheroidal kernel shows that the truncation error of spheroidal kernel is at least 500 times of full kernel. As a result, modification of the kernel using spheroidal Poisson kernel is vital for DWC.
Since the Poisson kernel depends on height, the modification must be computed for individual observation height. The computation of modification coefficients for all observations needs long computational time. To overcome this problem, they can be interpolated using suitable pre-computed coefficients of few reference altitudes. To escape from time consuming modification process, we proposed a fast and accurate method based on the full kernel. This method uses the orthogonal property of Legendre polynomial.
For numerical test, the proposed method was applied in Iran within latitude band of and longitude band of . To test the effect of the truncation error on DWC accuracy, Helmert gravity anomalies corresponding to spherical degree 281-2160 were synthesized using EGM2008 and spherical harmonics of the topography on both Earth’s surface and geoid. The truncation error of full, spheroidal and modified spheroidal (using Molokensij method) were evaluated for integration radius = 0.5 and 1 arc-deg. Our results show that for both radii, truncation error of full and modified kernel is about hundreds Gals, whereas these values can reach to several mGals for spheroidal kernel. Numerical results show that large truncation error yields the wrong results of DWC with spheroidal Poisson kernel. Also, the results show the good performance of proposed method in comparison with Molodenskij modified kernel.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Truncation error
  • residual gravity anomaly
  • Downward continuation
  • Poisson’s integral

Alberts, B., and Kless, R., 2004, A comparison of methods for the inversion of airborne gravity data: Journal of Geodesy, 78(1), 55-65, doi:10.1007/s00190-003-0366-x.

Ardalan, A. A., 1999, High resolution regional geoid computation in the World Geodetic Datum 2000, based upon collocation of linearized observational functionals of the type GPS, gravity potential and gravity intensity: PhD thesis, University of Stuttgart.

Ardalan, A. A., and Grafarend, E. W., 2004, High resolution regional geoid computation without applying Stokes’s formula: a case study of the Iranian geoid: Journal of Geodesy, 78(1), 138-156, doi:10.1007/s00190-004-0385-2.

Ardalan, A. A., and Karimi, R., 2013, On correct application of one-step inversion of gravity data: Studia Geophysica et Geodaetica, 57(3), 401-425, doi:10.1007/s11200-012-0443-9.

Bucha, B., Hirt, C., and Kuhn, M., 2019, Cap integration in spectral gravity forward modelling: Near-and far-zone gravity effects via Molodensky's truncation coefficients: Journal of Geodesy, 93(1), 65-83, doi:10.1007/s00190-0-1139-18x.

Ellmann, A., and Vaníček, P., 2007, UNB application of Stokes–Helmert's approach to geoid computation: Journal of Geodynamics, 43(2), 200-213.

Forsberg, R., and Tscherning, C. C., 2008, An overview manual for the GRAVSOFTRep.: Technical University of Denmark, Copenhagen, Denmark.

Goli, M. and Najafi-Alamdari, M., 2011, Planar, spherical and ellipsoidal approximations of Poisson's integral in near zone, Journal of Geodetic Science. 1(1), 17-24. Doi:10.2478/v10156-010-0003-6.

Goli, M., Najafi-Alamdari, M., and Vanicek, P., 2011, Numerical behaviour of the downward continuation of gravity anomalies, Studia Geophysica et Geodaetica, 55(2), 191-202, doi=10.1007/s11200-011-0011-8.

Goli, M., Foroughi, I., and Novak, P., 2018, On estimation of stopping criteria for iterative solutions of gravity downward continuation: Canadian Journal of Earth Sciences, 55(4), 397-405, doi:10.1139/cjes-2017-0208.

Hofmann-Wellenhof, B., and Moritz, H., 2006, Physical Geodesy: Springer Science and Business Media.

Huang, J., 2002, Computational methods for the discrete downward continuation of the Earth gravity and effects of lateral topographical mass density variation of gravity and geoid: PhD thesis, UNB, Federicton.

Huang, J., Pagiatakis, S. D., and Véronneau, M., 2002, Truncation of Poisson’s integral in upward and downward continuations of the Earth’s gravity: paper presented at Gravity, Geoid and Geodynamics 2000, Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2002.

Janák, J., Vańiček, P., Foroughi, I., Kingdon, R., Sheng, M. B., and Santos, M. C., 2017, Computation of precise geoid model of Auvergne using current UNB Stokes-Helmert’s approach: Contributions to Geophysics and Geodesy, 47(3), 201-229.

Molodenskij, M. S., Eremeev,V. F., and Yurkina, M. I., 1962, Method for study of the external gravitation field and figure of the Earth: Translation from Russian (1960), Jerusalem.

Novák, P., 2003, Geoid determination using one-step integration: Journal of Geodesy, 77(3-4), 193-206, doi:10.1007/s00190-003-0314-9.

Paige, C. C., and Saunders, M. A., 1982, LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations and Sparse Least Squares: ACM Transactions on Mathematical Software, 8(1), 43-71, doi: 10.1/145/355984.355989.

Pail, R., Bruinsma, S., Migliaccio, F., Förste, C., Goiginger, H., Schuh, W., Höck, E., Reguzzoni, M., Brockmann, J. M., Abrikosov, O., Veicherts, M., Fecher, T., Mayrhofer, R., Krasbutter, I., Sansò, F., and Tscherning, C. C, 2011, First GOCE gravity field models derived by three different approaches: Journal of Geodesy, 85(11), 819-843, doi:10.1007/s00190-011-0467-x.

Saadat, A., Safari, A., and Needell, D., 2018, IRG2016: RBF-based regional geoid model of Iran: Studia Geophysica et Geodaetica, 62(3), 380-407, doi:10.1007/s11200-016-0679-x.

Safari, A., Ardalan, A. A., Grafarend, E. W., 2005, A new ellipsoidal gravimetric, satellite altimetry and astronomic boundary value problem, a case study: The geoid of Iran: Journal of Geodynamics, 39(5), 545-568.

Sjöberg, L., 2005, A discussion on the approximations made in the practical implementation of the remove–compute–restore technique in regional geoid modelling: Journal of Geodesy, 78(11-12), 645-653, doi:10.1007/s00190-004-0430-1.Vaníček, P., Huang, J., Novak, P., Pagiatakis, S., Veronneau, M., Martinec, Z., and Featherstone, W., 1999, Determination of the boundary values for the Stokes-Helmert problem: Journal of Geodesy, 73(4), 180-192.

Vaníček, P., Novák, P., Sheng, M., Kingdon, R., Janák, J., Foroughi, I., Martinec, Z., and Santos, M., 2017, Does Poisson’s downward continuation give physically meaningful results?: Studia Geophysica et Geodaetica, 61(3), 412-428, doi:10.1007/s11200-016-1167-z.

Wong, L., and Gore, R. , 1969, Accuracy of geoid heights from modified Stokes kernels: Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 18(1), 81-91, doi:10.1111/j.1365-246X.1969.tb00264.x.